Coolkidshare: International Zhautykov Olympiad 2006 Soal 2

Misalkan titik $K$ terletak pada sisi $AB$ dan titik $L$ terletak pada sisi $AC$ dari segitiga $ABC$ sedemikian sehingga $BK=CL$ . Garis $BL$ dan $CK$ berpotongan di titik $P$ . Garis yang melalui titik $P$ dan sejajar dengan garis bagi sudut $BAC$ memotong garis $AC$ di titik $M$ . Buktikan bahwa $AB=CM$ .

Bukti 1:

Misalkan garis yang melalui titik $P$ dan sejajar dengan garis bagi sudut $BAC$ memotong garis $AB$ di titik $N$ . Kita akan membuktikan bahwa $AB=CM$ dan $AC=BN$ . Sekarang, semua pernyataan simetris terhadap $B$ dan $C$ (artinya $B$ dan $C$ dapat dipertukarkan), maka tanpa mengurangi keumuman anggaplah $AB\le AC$ .

Perhatikan bahwa $\angle AMN=\angle PMC=\frac12\angle BAC$ dan $\angle MAN=180^{\circ}-\angle BAC$ . Maka $\angle ANM=\frac12\angle BAC=\angle AMN$ , akibatnya $AM=AN$ .

Dengan dalil Menelaus pada segitiga $ABL$ dan garis transversal $KPC$ diperoleh $\frac{AC}{CL}\cdot\frac{LP}{PB}\cdot\frac{BK}{KA}=1$ . Karena $CL=BK$ , maka $\boxed{\frac{AC}{KA}=\frac{PB}{LP}}$ .

Dengan dalil Menelaus pada segitiga $ABL$ dan garis transversal $PMN$ diperoleh $\frac{BN}{NA}\cdot\frac{AM}{ML}\cdot\frac{LP}{PB}=1$ . Karena $NA=AM$ (telah dibuktikan di atas), maka $\boxed{\frac{BN}{ML}=\frac{PB}{LP}}$ .

Gabungkan kedua hasil di atas, maka kita mendapat bahwa $\frac{AC}{KA}=\frac{BN}{ML}$ , atau $\frac{AM+ML+LC}{KA}=\frac{NA+AK+KB}{ML}$ . Karena $AM=NA$ , $KB=LC$ , maka $\frac{AM+ML+KB}{KA}=\frac{AM+AK+KB}{ML}$ . Persamaan terakhir ini ekuivalen dengan
$(AM+ML+AK+KB)(ML-AK)=0$ . Karena $AM+ML+AK+KB\ne0$ , maka $ML-AK=0$ sehingga $ML=AK$ .

Jadi $AB=AK+KB=ML+CL=CM$ dan $BN=BK+KA+AN=CL+ML+AM=AC$ . Dengan ini bukti kita sudah selesai.

Bukti 2:

Buat titik $D$ sedemikian sehingga $ABDC$ adalah jajar genjang. Misalkan titik $Q$ adalah perpotongan garis $DB$ dan garis $CK$ , misalkan juga titik $R$ adalah perpotongan garis $DC$ dengan garis $BL$ .

Karena $ABDC$ adalah jajar genjang, maka garis $LC$ sejajar dengan garis $BD$ . Jadi segitiga $RLC$ sebangun dengan segitiga $RBD$ .

Perhatikan bahwa segitiga $PRC$ sebangun dengan segitiga $PBK$ sehingga $\frac{RP}{PB}=\frac{RC}{BK}$ . Kita juga tahu bahwa $BK=CL$ , maka $\frac{RP}{PB}=\frac{RC}{CL}$ . Karena segitiga $RLC$ sebangun dengan segitiga $RBD$ , maka $\frac{RC}{CL}=\frac{RD}{BD}$ , sehingga $\frac{RP}{PB}=\frac{RD}{BD}$ . Jadi, menurut teorema garis bagi, $DP$ adalah garis bagi dari sudut $\angle BDC$ .

Karena $ABDC$ adalah jajar genjang, maka garis bagi dari sudut $\angle BAC$ sejajar dengan garis bagi sudut $\angle BDC$ . Jadi $PM$ sejajar dengan garis bagi sudut $BDC$ . Akibatnya $D$ , $P$ , dan $M$ segaris. Misalkan $\angle BDC=\angle BAC=2\alpha$ . Perhatikan bahwa $\angle CMP=\alpha$ dan $\angle CDP=\alpha$ , maka $CM=CD$ . Tetapi $ABDC$ adalah jajar genjang sehingga $CD=AB$ , akibatnya $CM=AB$ . Bukti kita selesai.

Senin, 07 November 2011

International Zhautykov Olympiad 2006 Soal 2

0 komentar:

Posting Komentar


Designed by Sila Prasetya
Copyright © 2011\|Coolkidshare.blogspot.com