Coolkidshare: Slovenia 1999

Barisan bilangan real $a_1,a_2,a_3,\ldots$ memenuhi $a_1=2$ , $a_2=500$ , $a_3=2000$ , dan juga $\frac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}$ untuk $n=2,3,4,\ldots$ . Buktikan bahwa semua bilangan di barisan ini adalah bilangan asli dan buktikan bahwa $a_{2000}$ habis dibagi $2^{2000}$ .

Bukti 1:

Dari hubungan rekursif yang diberikan, diperoleh $a_{n-1}(a_{n+2}+a_{n+1})=a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1})$ , maka $a_{n-1}a_{n+2}=a_{n+1}^2$ , sehingga $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2}{a_{n-1}}$ . Dari persamaan terakhir ini dan $a_1=2,a_2=500,a_3=2000$ , maka diperoleh bahwa $a_n$ selalu berbentuk $2^k5^l$ , untuk bilangan bulat $k$ dan $l$ . Misalkan $a_n=2^{b_n}5^{c_n}$ untuk $n=1,2,3,\ldots$ .

Kita akan membuktikan dengan induksi bahwa $b_n>b_{n-1}$ . Perhatikan bahwa $a_1=2,a_2=2^2\cdot5^3,a_3=2^4\cdot5^3$ menyebabkan $b_1=1,b_2=2,b_3=4$ . Karena $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2}{a_{n-1}}$ , maka $b_{n+2}=2b_{n+1}-b_{n-1}$ . Andaikan $b_n>b_{n-1}$ untuk $n=1,2,3,\ldots,k$ . Maka $b_{n+2}=b_{n+1}+(b_{n+1}-b_{n-1})>b_{n+1}$ , sehingga bukti kita selesai. Dengan cara yang sama, $c_n>c_{n-1}$ untuk semua $n>3$ . Jadi $b_n$ dan $c_n$ adalah bilangan cacah, sehingga $a_n$ pasti bilangan asli.

Telah dibuktikan dengan induksi di atas bahwa $b_n>b_{n-1}$ untuk semua $n$ . Akibatnya $b_n\ge b_{n-1}+1\ge b_{n-2}+2\ge\ldots\ge b_1+1999=2000$ . Maka $a_n=2^{b_n}5^{c_n}$ pasti habis dibagi $2^{2000}$ .

Bukti 2:

Dengan cara seperti di atas, diperoleh $a_{n+2}a_{n-1}=a_{n+1}^2$ . Tidak ada suku yang nilainya 0, maka kita bisa tulis persamaan tadi menjadi $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}a_n}=\frac{a_{n+1}}{a_na_{n-1}}$ . Jadi nilai $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}a_n}$ konstan, yaitu sama dengan $\frac{a_3}{a_2a_1}=\frac{2000}{500\cdot2}=2$ . Jadi $a_{n+2}=2a_{n+1}a_n$ , sehingga jelas bahwa semua suku pada barisan itu adalah bilangan asli.

Perhatikan juga bahwa $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=2a_n$ , sehingga $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}$ adalah bilangan genap. Tetapi $a_{2000}=\frac{a_{2000}}{a_{1999}}\cdot\frac{a_{1999}}{a_{1998}}\cdots\frac{a_2}{a_1}\cdot a_1$ . Ke-2000 bilangan yang dikalikan tersebut semuanya adalah bilangan genap, sehingga $a_{2000}$ habis dibagi $2\cdot2\cdots2\cdot2=2^{2000}$ .

Senin, 07 November 2011

Slovenia 1999

0 komentar:

Posting Komentar


Designed by Sila Prasetya
Copyright © 2011\|Coolkidshare.blogspot.com